Desigualdade Variacional da Equação Não-Linear Degenerada de Vibrações da Viga

FERREIRA, H. S.; PEREIRA, D. C.

doi:10.5540/tcam.2024.025.e01592

RESUMO

Estudamos neste artigo existência e unicidade de solução fraca global para a inequação variacional não linear degenerada

$||\begin{array}{l} K (x, t) u " + Δ^{2} u + M ({||u||}^{2}) (- Δ u) + u' \geq f \\ u (0) = u_{0} \\ u' (0) = u_{1} \\ u_{⌊_{Σ}} = \frac{\partial u}{\partial η} ⌊_{Σ} = 0 \end{array}$

em que K(x, t) é uma função definida em $Q = Ω \times] 0, T [, K (x, t) \geq 0$ para todo $(x, t) \in Q$ , M uma função real contínua com propriedades específicas e f pertence a classe de funções $L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ . Usaremos o Método de Faedo-Galerkin, operador monótono e Compacidade para provar a existência e a unicidade de soluções fracas.

Palavras-chave:
operador de penalização; desigualdade variacional; método de Galerkin

ABSTRACT

In this article, we study the existence and uniqueness of a global weak solution for the degenerate nonlinear variational inequality

$||\begin{array}{l} K (x, t) u " + Δ^{2} u + M ({||u||}^{2}) (- Δ u) + u' \geq f \\ u (0) = u_{0} \\ u' (0) = u_{1} \\ u_{⌊_{Σ}} = \frac{\partial u}{\partial η} ⌊_{Σ} = 0 \end{array}$

where K(x, t) is a function defined on $Q = Ω \times] 0, T [, K (x, t) \geq 0$ para todo $(x, t) \in Q$ , M a continuous real function with specific properties and f belongs to the class of functions $L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ . We will use the Faedo-Galerkin method, monotone operator and Compactness to prove the existence and uniqueness of weak solutions.

Keywords:
penalty operator; variational inequality; Galerkin method

INTRODUÇÃO

O estudo das desigualdades variacionais foi iniciado por Stampacchia ¹²12 G. Stampacchia. Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes. Comptes Rendus Hebdomadaires Des Seances De L Academie Des Sciences, 258(18) (1964), 4413., Lions-Stampacchia ⁸8 J.L. Lions & G. Stampacchia. Variational inequalities. Communications on pure and applied mathematics, 20(3) (1967), 493-519., Brezis ²2 H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Collection mathématiques appliquées pour la mâıtrise, 1992 (1987). e também por Kinderlehrer-Stampacchia ⁶6 D. Kinderlehrer & G. Stampacchia. “An introduction to variational inequalities and their applications”. SIAM (2000).. Em Lions ⁷7 J.L. Lions. “Quelques méthodes de résolution des problemes aux limites non linéaires”. Dunod (1969)., nós podemos encontrar o mesmo tipo de problema para um operador não linear do tipo hiperbólico, elíptico e parabólico mas em um caso não degenerado. A degeneração de equação hiperbólica não linear traz dificuldades no caso de domínio cilíndrico, pois a geometria do domínio afeta a exatidão do problema. A existência e unicidade de soluções fracas regulares local e global em domínios cilíndricos para outros modelos encontramos em vários trabalhos, por exemplo, ⁵5 J. Ferreira. On a variational inequality for a hyperbolic-parabolic equation with a lipschitzian nonlinearity. Proyecciones (Antofagasta, On line), 16(2) (1997), 125-139.^{), (}⁹9 L. Medeiros & M.M. Miranda. Local solutions for a nonlinear unilateral problem. Revue Roumaine de Mathematiques Pures et Appliquées, 31(5) (1986), 371-382.^{), (}¹²12 G. Stampacchia. Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes. Comptes Rendus Hebdomadaires Des Seances De L Academie Des Sciences, 258(18) (1964), 4413.^{), (}⁸8 J.L. Lions & G. Stampacchia. Variational inequalities. Communications on pure and applied mathematics, 20(3) (1967), 493-519.^{), (}⁶6 D. Kinderlehrer & G. Stampacchia. “An introduction to variational inequalities and their applications”. SIAM (2000).^{), (}³3 Y. Ebihara. Modified variational inequalities to semilinear wave equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 7(8) (1983), 821-826.^{) e (}⁴4 Y. Ebihara, M.M. Miranda & L. Medeiros. On a variational inequality for a nonlinear operator of hyperbolic type. Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática-Bulletin/Brazilian Mathematical Society, 16(2) (1985), 41-55..

O movimento transversal de viga extensível de comprimento L, com extremos presos a uma certa distncia fixa pode ser modelado pela equação

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + ρ \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}} + (σ + \int_{0}^{L} u_{ξ}^{2} (ξ, t) d ξ) (- \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}) = 0

(1.1)

que foi proposto por Woinowsky-Krieger ¹³13 S. Woinowsky-Krieger. The effect of an axial force on the vibration of hinged bars. Journal of Applied Mechanics, (1950)., onde ρ é uma constante positiva, σ uma constante não necessariamente positiva e o termo não-linear representa a mudança na tensão da viga devido a sua extensibilidade.

A formulação abstrata de (1.1) é dada pela equação

u'' + ρ A^{2} u + M (| A^{\frac{1}{2}} u |^{2}) A u = 0

(1.2)

Onde A é um operador auto-adjunto não limitado de um espaço de Hilbert H e M uma função real.

Encontramos no capítulo 3 de Pereira ¹¹11 D. Pereira. “Existência, Unicidade e Comportamento Assintótico das Soluçoes da Equação Não-Linear da Viga”. Ph.D. thesis, Doctoral Thesis. IM-UFRJ (1987). o estudo da existência e unicidade de solução do problema misto no cilindro finito $Q = Ω \times] 0, T [$ de ℝ ⁿ⁺¹ , para a equação

k (x, t) u'' + Δ^{2} u + M (\int_{Ω} | \nabla u |^{2} d x) (- Δ u) + u' = 0

(1.3)

Onde K(x, t) é uma função definida em Q, $K (x, t) \geq 0$ para todo $(x, t) \in Q$ , M uma função contínua e outras propriedades, o qual é um problema relacionado com a equação (1.1).

O objetivo principal deste trabalho é estudar a existência e unicidade de soluções fracas globais para o problema (P), abaixo:

(P) ǁ\begin{array}{l} K (x, t) u " + Δ^{2} u + M ({||u||}^{2}) (- Δ u) + u' \geq f em Q \\ u (0) = u_{0}, u' (0) = u_{1} em Ω \\ u_{⌊_{Σ}} = {\frac{\partial u}{\partial v}}_{⌊_{Σ}} = 0 \end{array}

(1.4)

Trata-se de uma desigualdade variacional baseada na equação (1.3), onde Ω denota um aberto limitado do ℝⁿ , n ≥ 1, com fronteira $\partial Ω = Γ$ regular. Para cada número real fixo, porém arbitrário T > 0, Q denota o cilindro $Q = Ω \times] 0, T [$ com fronteira lateral $Σ = Γ \times] 0, T [, K (x, t) \geq 0$ é uma função definida em Q, M é uma função real com certas propriedades e $f \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ .

2. RESULTADOS E HIPÓTESES

Seja $N = {v \in L^{2} (Ω); v \geq 0 q.s em Ω}$ o conjunto fechado e convexo de L ²(Ω) com 0 ∈ N o qual tem a seguinte propriedade:

Existe uma contração $ρ : ℝ ⟶ ℝ$ , isto é, $| ρ (y_{1}) - ρ (y_{2}) | \leq | y_{1} - y_{2} |$ , com ρ(0) = 0, tal que $(P_{N} v) (x) = ρ (v (x)), \forall v \in L^{2} (Ω)$ , onde P _N é o operador projeção de L ²(Ω) em N.

Definição 2.1.Definimos o operador de penalização $β : L^{2} (Ω) ⟶ L^{2} (Ω)$ , por β = I − P _N , isto é, $β v = v - P_{N} v, \forall v \in L^{2} (Ω)$ , ou ainda, $(β v) (x) = v (x) - ρ (v (x))$

Proposição 2.1.Afirmamos que β é monótono, ou seja, $(β u - β v, u - v) \geq 0$ e Lipschitziano, isto é, $| β (u) - β (v) | \leq α | u - v |$ .

Proposição 2.2.Sendo β lipschitziano, então β é contínuo e β (S) é limitado para qualquer subconjunto limitado $S \subset L^{2} (Ω)$ . Além disso, consideraremos também que $β (v) = 0 ⟺ v \in N$ , isto é, ker β = N

Proposição 2.3.Seja E um espaço de Banach e (x _n ) uma sucessão em E. Então:

(I) $[x_{n} ⇀ x em σ (E, E')] ⟺ [⟨ f, x_{n} ⟩ \to ⟨ f, x ⟩, \forall f \in E']$
(II) Se x _n → x fortemente, então x _n ⇀ x fracamente para σ (E, E ^′ )
(III) Se x _n ⇀ x fracamente para σ (E, E ^′ ), então ∥x _n ∥ é limitada e $‖ x ‖ \leq \lim \inf ‖ x_{n} ‖$
(IV) Se x_n⇀ x fracamente em σ (E, E^′) e se f_n→ f fortemente em E^′(isto é, $‖ f_{n} - f ‖_{E'} \to 0$ ), então $⟨ f_{n}, x_{n} ⟩ \to ⟨ f, x ⟩$ . Demonstração: veja ²2 H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Collection mathématiques appliquées pour la mâıtrise, 1992 (1987).

Proposição 2.4.Seja E um espaço de Banach e ( f _n ) uma sucessão em E ^′ .

(I) $[f_{n} \overset{⋆}{⇀} f em σ (E', E)] ⟺ [⟨ f_{n}, x ⟩ ⟶ ⟨ f, x ⟩, \forall x \in E]$
(II) Se f_n → f forte, então f _n ⇀ f em σ(E ^′ , E ^′′)
(III) Se f_n⇀ f em σ(E^′, E^′′), então $f_{n} \overset{⋆}{⇀} f$ em σ(E^′, E)
(IV) Se $f_{n} \overset{⋆}{⇀} f$ em σ(E^′, E), então ∥f _n ∥ esta limitada e $‖ f ‖ \leq \lim \inf ‖ f_{n} ‖$ .
(V) Se Se $f_{n} \overset{⋆}{⇀} f$ em σ(E^′, E) e se x_n → x fortemente em E, então $⟨ f_{n}, x_{n} ⟩ \to ⟨ f, x ⟩$ . Demonstração: veja ²2 H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Collection mathématiques appliquées pour la mâıtrise, 1992 (1987).

Proposição 2.5.Seja $N = {v \in L^{2} (Ω); v \geq 0 q . s em Ω}$ um convexo fechado do L²(Ω). Portanto, se $w \in L^{2} (Ω)$ , então existe um único $P_{N} w \in N$ tal que

i) $| w - P_{N} w | \leq | w - v |, \forall v \in N$ .

A desigualdade i) é equivalente a

ii) $P_{N} w \in N$

$(w - P_{N} w, v - P_{N} w) \leq 0, \forall v \in N$ , em que P _N w é a projeção de w sobre N.

Demonstração: veja ²2 H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Collection mathématiques appliquées pour la mâıtrise, 1992 (1987).

Proposição 2.6.(Desigualdade de Gronwall): Se $g : [t_{0}, t_{1}] ⟶ ℝ$ e $h : [t_{0}, t_{1}] ⟶ ℝ$ são contínuas tais que $g (t) \geq 0; h (t) \geq 0$ e $g (t) \leq C_{0} + C \int_{t_{0}}^{t} h (s) g (s) d s, \forall t \in [t_{0}, t_{1}]$ com C ≥ 0 e C > 0 , então $g (t) \leq C_{0} e^{C \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s}$ .

Assumiremos as seguintes hipóteses:

ℋ₁) $K \in C^{1} (0, T; H_{0}^{1} (Ω) \cap L^{\infty} (Ω))$ com $K (x, t) \geq 0, \forall (x, t) \in Ω \times] 0, T [$ e $\forall γ > 0 tal que K (x, 0) \geq γ > 0$
ℋ₂) ${|\frac{\partial K}{\partial t}|}_{ℝ} \leq α + C (α) K, \forall α > 0$
ℋ₃) $M \in C^{1} ([0, \infty])$ com $M (λ) \geq - σ, \forall λ \geq 0; 0 < σ < λ_{1}$ ; sendo λ ₁ o primeiro valor próprio de $Δ^{2} u - λ (- Δ u) = 0$ .¹ 1 De acordo com Mikhlin (10) temos satisfeito que: λ1=infu∈H02(Ω)|-Δu|2|-Δ1/2u|2>0 (2.1)
ℋ₄) Seja $β : L^{2} (Ω) ⟶ L^{2} (Ω)$ o operador de penalização definido por $β = I - P_{N}$ , onde P _N é o operador projeção de L ²(Ω) em N, dado por $(P_{N} v) (x) = ρ (v (x)), \forall v \in L^{2} (Ω)$ .

3 RESULTADO PRINCIPAL

Teorema 3.1. Nas hipóteses ℋ ₁ a ℋ ₄ , se $u_{0} \in H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω), u_{1} \in H_{0}^{2} (Ω) \cap N, f$ e $f' \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ , então existe uma única função $u : [0, T] ⟶ L^{2} (Ω)$ tal que:

A1T) $u \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))$
A2T) $u' \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω)); u' (t) \in N q . t . p t \in (0, T)$
A3T) $u'' \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$
A4T) $\int_{0}^{T} (k (x, t) u'', v - u') d t + \int_{0}^{T} (- Δ u, - Δ (v - u')) d t + \int_{0}^{T} M ({||u||}^{2}) (- Δ u, v - u') d t + \int_{0}^{T} (u', v - u') d t \geq \int_{0}^{T} (f, v - u') d t \forall v \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)), v (t) \in N q . t . p t \in (0, T)$
A5T) $u (0) = u_{0} e u' (0) = u_{1}$

O teorema (3.1) será uma consequência do lema (3.1)

Lema 3.1.Nas mesmas condições do teorema (3.1), para cada 0 < ε < 1 e δ > 0 existe uma função u _εδ definida em Q tal que:

A1L1) $u_{ε δ} \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))$
A2L1) $u'_{ε δ} \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))$
A3L1) $u''_{ε δ} \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$
A4L1) $(k + ε) u''_{ε δ} + Δ^{2} u_{ε δ} + M ({||u_{ε δ}||}^{2}) (- Δ u_{ε δ}) + u'_{ε δ} + \frac{1}{δ} β (u'_{ε δ}) = f$ em L²(Q)
A5L1) $u_{ε δ} (0) = u_{0} e u_{ε δ}' (0) = u_{1}$

3.1 Problema Aproximado Perturbado e Penalizado

Considere o problema pertubado penalizado

$(k + ε) u''_{ε δ} + Δ^{2} u_{ε δ} + M ({||u_{ε δ}||}^{2}) (- Δ u_{ε δ}) + u'_{ε δ} + \frac{1}{δ} β (u'_{ε δ}) = f$ em $L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ , fixados ε ∈ ℝ e δ ∈ ℝ com ε ∈ (0, 1) e δ > 0.

Seja (w _ν )_ν∈ℕ uma sequência de $H_{0}^{2} (Ω)$ formada pelas auto-funções de −∆, isto é, $- Δ w_{ν} = λ_{ν} w_{ν}, w_{ν} ∣_{Γ} = \frac{\partial w_{ν}}{\partial η} ∣_{Γ} = 0$ e 0 < λ₁ < λ₂ < ... < divergindo para +∞.

A seguir usaremos o método de Faedo Galerkin para obter soluções u _εδ do problema pertubado penalizado.

Considere $V_{m} = [w_{1}, w_{2}, . . ., w_{m}]$ o subespaço gerado pelas m primeiras funções (w _ν )_ν∈N . Para cada m ∈ ℕ, considere a função:

$u_{ε δ m} (x, t) = \sum_{j = 1}^{m} g_{ε δ m j} (t) w_{j} (x) \in V_{m}$ tal que

(P A) ‖ \begin{array}{l} ((k + ε) u_{ε δ m}^{'''} (t), w_{j}) + (- Δ u_{ε δ m}, - Δ w_{j}) + M (| u_{ε δ m} (t) |^{2}) (- Δ u_{ε δ m}, w_{j}) + \\ (u'_{ε δ m} (t), w_{j}) + \frac{1}{δ} (β (u'_{ε δ m} (t)), w_{j}) = (f, w_{j}), \forall w_{j} \in V_{m} \\ u_{ε δ m} (0) = u_{0 m} ⟶ u_{0} em H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω) \\ u'_{ε δ m} (0) = u_{1 m} ⟶ u_{1} em H_{0}^{2} (Ω) \cap N onde N = {v \in L^{2} (Ω); v \geq 0 q.s em Ω} \end{array}

(3.1)

Pelo Teorema de Carathéodory o sistema (3.1) tem solução local em $[0, t_{m}), 0 < t_{m} < T$ . As estimativas a priori nos permitirão extender a solução aproximada u _εδm (t) para o intervalo [0, T].

3.2 Estimativas à priori

3.2.1 Estimativa I

Fazendo $w_{j} = u'_{ε δ m} (t)$ em (3.1), obtemos

((K + ε) u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t)) + (- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) + M (‖ u_{ε δ m} (t) ‖^{2}) (- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{'} (t)) + (u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{'} (t)) + \frac{1}{δ} (β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t)) = (f (t), u_{ε δ m}^{'})

(3.2)

Usando propriedades da função M, a monoticidade do β , a desigualdade de Cauchy-Schwartz, a desigualdade elementar 2ab ≤ a ² + b ², a observação (2.1) e as hipóteses (ℋ₁) a (ℋ₄) em (3.2), obtemos

(K, u_{ε δ m}^{' 2} (t)) + ε | u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} + (1 - \frac{σ}{λ_{1}}) | Δ u_{ε δ m} (t) |^{2} + (1 - α) \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{'} (s) |^{2} d s \leq C_{0} + C (α) \int_{0}^{t} (k, u_{ε δ m}^{' 2} (s)) d s

sendo 0 < α < 1 e C ₀ constante positiva independente de ε, δ, m e t.

E pela desigualdade de Gronwall (2.6):

(K, u_{ε δ m}^{' 2} (t)) + ε | u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} + (1 - \frac{σ}{λ_{1}}) | Δ u_{ε δ m} (t) |^{2} + (1 - α) \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{'} (s) |^{2} d s \leq C,

(3.3)

sendo C constante positiva independente de ε, δ, m e t.

Portanto, concluimos que as seguintes sequências são limitadas:

Est1-a) $(K^{1 / 2} u_{ε δ m}^{'})$ é limitada em L ^∞(0, T; L ²(Ω))
Est1-b) $(\sqrt{ε} u_{ε δ m}^{'} (t))$ é limitada em L ^∞(0, T; L ²(Ω))
Est1-c) (u _εδm ) é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))$
Est1-d) $(u_{ε δ m}^{'} (t))$ é limitada em L ²(0, T; L ²(Ω))
Est1-e) $(β (u_{ε δ m}^{'} (t)))$ é limitado em L ²(0, T; L ²(Ω))

3.2.2 Estimativa II

Fazendo $w = - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)$ em (3.1), usando a 1ª Identidade de Green, equivalências de normas, desigualdade de Cauchy-Schwartz, desigualdade elementar e as hipóteses (ℋ₁) a (ℋ₄), obtém-se

(k u_{ε δ m}^{''} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) + ε (u_{ε δ m}^{''} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) + (- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ (- Δ u_{ε δ m}^{'} (t))) + M (‖ u_{ε δ m} (t) ‖^{2}) (- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) + (u_{ε δ m}^{'} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) + \frac{1}{δ} (β (u_{ε δ m}^{'} (t)), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = (f, - Δ u_{ε δ m}^{'} (t))

(3.4)

Consequentemente, podemos escrever

(k u_{ε δ m}^{''} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ((k u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) (u_{ε δ m}^{''} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ε ((u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) (- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ (- Δ u_{ε δ m}^{'} (t))) = ((- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t))) (- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ((- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) (u_{ε δ m}^{'} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ((u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) (β (u_{ε δ m}^{'} (t)), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ((β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t))) (f, - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) = ((f, u_{ε δ m}^{'} (t)))

Fazendo-se as devidas substituições em (3.4), obtemos:

((k u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ε ((u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ((- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t))) + M ({||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2}) ((- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ((u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + \frac{1}{δ} ((β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t))) = ((f (t), u_{ε δ m}^{'} (t)))

(3.5)

Lema 3.2.Se g: ℝ → ℝ é uma função Lipschitziana e não decrescente com g(0) = 0, então $(g (u), - Δ u) \geq 0, \forall u \in H_{0}^{1} (Ω) \cap H^{2} (Ω)$ . Proof. Ver ²2 H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Collection mathématiques appliquées pour la mâıtrise, 1992 (1987). e ¹1 V.J.V. Becerra. “Solução Local Para um Problema não Linear Unilateral”. Ph.D. thesis, Dissertaçao de Mestrado. UFRJ (1987). □

Portanto, pelo lema (3.2) acima, $(β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t)) \geq 0$ . Segue de (3.5) que:

((K u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ε ((u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ((- Δ u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t))) + M (‖ u_{ε δ m}^{'} (t) ‖^{2}) ((- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) + ((u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{'} (t))) \leq ((f (t), u_{ε δ m}^{'} (t)))

(3.6)

Note que:

{|((\frac{\partial K}{\partial t}, u_{ε δ m}^{' 2} (t)))|}_{ℝ} \leq (({|\frac{\partial K}{\partial t}|}_{ℝ}, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) \leq ((α + C (α) K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) = α ‖ u_{ε δ m}^{'} (t) ‖^{2} + C (α) ((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t)))

Portanto, integrando (3.6) de 0 a t, obtemos:

((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) + ε {||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2} + {||Δ u_{ε δ m} (t)||}^{2} + (1 - α) \int_{0}^{t} {||u_{ε δ m}^{'} (s)||}^{2} d s \leq \int_{0}^{t} {||f (s)||}^{2} d s + C (α) \int_{0}^{t} ((K, u_{ε δ m}^{' 2} (s))) d s + 2 \int_{0}^{t} | M (||u_{ε δ m} {(t)}^{2}||) |||_{ℝ} Δ u_{ε δ m} (t)|| ||u_{ε δ m}^{'} (t)|| d s + | ((K (0), u_{1 m}^{2})) |_{ℝ} + ε {||u_{1 m}||}^{2} + ‖ Δ u_{0 m} ‖^{2} .

(3.7)

Como já verificamos, (u _εδm ) é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω)) ↪ L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ . Logo, $‖ u_{ε δ m} (t) ‖^{2}$ é limitada. Portanto, pela continuidade da M, podemos tomar

C_{1} = \max_{0 < λ < ‖ u_{ε δ m} (t) ‖^{2}} | M (λ) |_{ℝ} .

Podemos então escrever:

2 \int_{0}^{t} | M ({||u_{ε δ m} (s)||}^{2}) |_{ℝ} ||Δ u_{ε δ m} (t)|| ||u_{ε δ m}^{'} (t)|| d s \leq 2 \int_{0}^{t} C_{1} ||Δ u_{ε δ m} (s)|| ||u_{ε δ m}^{'} (s)|| d s .

Além disso, usando a desigualdade elementar, temos

\frac{2 C_{1} ‖ Δ u_{ε δ m} (s) ‖}{\sqrt{α}} \sqrt{α} ||u_{ε δ m}^{'} (s)|| \leq \frac{C_{1}^{2} ‖ Δ u_{ε δ m} (s) ‖^{2}}{α} + α ||u_{ε δ m}^{'} {(s)}^{2}|| .

Substituindo estes resultados em (3.7), obtemos

((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) + ε {||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2} + {||Δ u_{ε δ m} (t)||}^{2} + (1 - α) \int_{0}^{t} {||u_{ε δ m}^{'} (s)||}^{2} d s \leq \int_{0}^{t} {||f (s)||}^{2} d s + C (α) \int_{0}^{t} ((K, u_{ε δ m}^{' 2} (s))) d s + \int_{0}^{t} \frac{C_{1}^{2}}{α} {||Δ u_{ε δ m} (s)||}^{2} d s + \int_{0}^{t} α {||u_{ε δ m}^{'} (s)||}^{2} d s + | ((K (0), u_{1 m}^{2})) |_{ℝ} + ε {||u_{1 m}||}^{2} + {||Δ u_{0 m}||}^{2}

(3.8)

Note que (3.1) garante que ∥∆u _0m ∥ e ∥u _1m ∥ são limitadas e, além disso, observando (ℋ₁), temos que

| ((K (0), u_{1 m}^{2})) |_{ℝ} \leq ‖ K (0) ‖ ‖ u_{1 m}^{2} ‖ \leq (\sup_{x \in Ω} e s s ||K (0)||) ||u_{1 m}^{2}|| ⟶ (\sup_{x \in Ω} e s s ||K (0)||) {||u_{1}||}^{2} .

Portanto, $| ((K (0), u_{1 m}^{2})) |_{ℝ}$ é limitado. Note também que ∥f(t)∥² é limitado, pois $f \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ . Dessa maneira, podemos reescrever (3.8):

((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) + ε {||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2} + {||Δ u_{ε δ m} (t)||}^{2} + (1 - 2 α) \int_{0}^{t} {||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2} d s \leq C_{2} + C_{3} \int_{0}^{t} [((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) + ‖ Δ u_{ε δ m} (t) ‖^{2}] d s, com 0 < α < \frac{1}{2}

(3.9)

Aplicando a desigualdade de Gronwall (2.6):

((K, u_{ε δ m}^{' 2} (t))) + ε {||u'_{ε δ m} (t)||}^{2} + {||Δ u_{ε δ m} (t)||}^{2} + (1 - 2 α) \int_{0}^{t} {||u_{ε δ m}^{'} (t)||}^{2} d s \leq C_{4}

(3.10)

Onde C ₄ é constante positiva independente de ε, δ , m e t. Concluimos então que:

Est2-a) $(k^{1 / 2} u_{ε δ m}^{'})$ é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
Est2-b) $(\sqrt{ε} u_{ε δ m}^{'})$ é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
Est2-c) $(u_{ε δ m}^{'} (t))$ é limitado em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
Est2-d) $(u_{ε δ m} (t))$ é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω))$

3.2.3 Estimativa III

Derivando a equação aproximada em PA (3.1) em relação a t, fazendo $w = u_{ε δ m}^{''} (t)$ e aplicando a 1ª identidade de Green, obtemos

(K u_{ε δ m}^{'''} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + (ε u_{ε δ m}^{'''} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + (\frac{\partial K}{\partial t} u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + (- Δ u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + M ({||u_{ε δ m} (t)||}^{2}) (- Δ u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + 2 (u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) M' ({||u_{ε δ m} (t)||}^{2}) (- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + (u_{ε δ m}^{''} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) + \frac{1}{δ} ([β (u_{ε δ m}^{'} (t))]', (u_{ε δ m}^{'} (t))') = (f' (t), u_{ε δ m}^{''} (t))

(3.11)

Levando-se em consideração a monoticidade do β , podemos reescrever (3.11):

\frac{d}{d t} [(K, u_{ε δ) m}^{''} (t) + ε | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} + | Δ u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2}] + 2 | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} \leq 2 {|(f' (t), u_{ε δ m}^{''} (t))|}_{ℝ} + {|(\frac{\partial K}{\partial t}, u_{ε δ m}^{'' 2} (t))|}_{ℝ} + 2 | M ({||u_{ε δ m} (t)||}^{2}) |_{ℝ} | (- Δ u_{ε δ m}^{'} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) |_{ℝ} + 4 | (u_{ε δ m} (t), - Δ u_{ε δ m}^{'} (t)) |_{ℝ} | M' ({||u_{ε δ m} (t)||}^{2}) |_{ℝ} | (- Δ u_{ε δ m} (t), u_{ε δ m}^{''} (t)) |_{ℝ}

(3.12)

Além disso, por (ℋ₂),

{|(\frac{\partial k}{\partial t}, u_{ε δ m}^{'' 2} (t))|}_{ℝ} \leq α | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} + C (α) (k, u_{ε δ m}^{'' 2} (t))

Portanto aplicando este resultado, a desigualdade de Cauchy-Schwartz, a desigualdade elementar e integrando de 0 a t (3.12), obtemos

(K, u_{ε δ m}^{'' 2} (t)) + ε | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} + | Δ u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} + 2 \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} d s \leq \int_{0}^{t} | f' (s) |^{2} d s + \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{''} (s) |^{2} d s + α \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{''} (s) |^{2} d s + C (α) \int_{0}^{t} (K, u_{ε δ m}^{'' 2} (s)) d s + 2 C_{1} \int_{0}^{t} | Δ u_{ε δ m}^{'} (s) | | u_{ε δ m}^{''} (s) | d s + 4 C_{5} \int_{0}^{t} | Δ u_{ε δ m}^{'} (s) | | u_{ε δ m} (s) | | Δ u_{ε δ m} (s) | | u_{ε δ m}^{''} (s) | d s + | K (0) | | u_{ε δ m}^{''} (0) |^{2} + ε | u_{ε δ m}^{''} (0) |^{2} + Δ u_{1 m} (t) |^{2}

(3.13)

Considerando-se que: $| u_{ε δ m}^{''} (0) |, | k (0) | | u_{ε δ m}^{''} (0) |, | u_{ε δ m} (t) |, | Δ u_{ε δ m} (t) |$ e |∆u _1m | são limitadas, podemos reescrever (3.13):

(K, u_{ε δ m}^{'' 2} (t)) + ε | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} + | Δ u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} + (1 - 2 α) \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{''} (s) |^{2} d s \leq C_{6} + C_{7} \int_{0}^{t} [(k, u_{ε δ m}^{'' 2} (s)) + | Δ u_{ε δ m}^{'} (s) |^{2}] d s

Aplicando a desigualdade de Gronwall (2.6) neste último resultado, obtemos $(k, u_{ε δ m}^{'' 2} (t)) + ε | u_{ε δ m}^{''} (t) |^{2} + | Δ u_{ε δ m}^{'} (t) |^{2} + (1 - 2 α) \int_{0}^{t} | u_{ε δ m}^{''} (s) |^{2} d s \leq C_{8}$ , em que C ₈ é constante positiva independente de ε, δ, m e t. Podemos, então, afirmar que:

Est3-a) $(k^{1 / 2} u_{ε δ m}^{''})$ é limitada em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))
Est3-b) $(\sqrt{ε} u_{ε δ m}^{''})$ é limitada em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))
Est3-c) $(u_{ε δ m}^{'})$ é limitada em L ^∞(0, T ; H ²(Ω))
Est3-d) $(u_{ε δ m}^{''})$ é limitada em L ²(0, T ; L ²(Ω))
Est3-e) $(k u_{ε δ m}^{''})$ é limitada em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))

3.3 Passagem ao Limite

Das estimativas anteriores, (Est2-d), (Est3-c), (Est3-d) e (Est1-e)

(u _εδm ) é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω))$
$(u_{ε δ m}^{'})$ é limitada em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))$
$(u_{ε δ m}^{''})$ é limitada em L ²(0, T ; L ²(Ω))
$(β (u_{ε δ m}^{'}))$ é limitado em L ²(0, T ; L ²(Ω))

Podemos então extrair uma subsequência de (u _εδm ), a qual denotaremos por (u _εδν ), tal que

L1) $u_{ε δ ν} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω))$
L2) $u_{ε δ ν}^{'} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}^{'}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))$
L3) $u_{ε δ ν}^{''} ⇀ u_{ε δ}^{''}$ em L ²(0, T ; L ²(Ω))
L4) $Δ u_{ε δ ν} \overset{⋆}{⇀} Δ u_{ε δ}$ em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))
L5) $\sqrt{ε} u_{ε δ ν}^{''} \overset{⋆}{⇀} \sqrt{ε} u_{ε δ}^{''}$ em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))
L6) $k u_{ε δ ν}^{''} \overset{⋆}{⇀} k u_{ε δ}^{''}$ em L ^∞(0, T ; L ²(Ω))
L7) $β (u_{ε δ ν}^{'}) ⇀ β (u_{ε δ}^{'})$ em L ²(0, T ; L ²(Ω))

Convergência da função M:

Lema da Compacidade de Aubin-Lions: Sejam 1 < p ₀ , p ₁ < ∞ e B ₀ , B, B ₁ espaços de Banach sendo que B ₀ e B ₁ são reflexivos tais que $B_{0} \overset{c}{↪} B ↪ B_{1}$ ( $\overset{c}{↪}$ indica imersão compacta). Para 0 < T < ∞, consideremos o espaço

$W = {w; w \in L^{p_{0}} (0, T; B_{0}) e w' \in L^{p_{1}} (0, T; B_{1})}$ , com a norma

${||w||}_{W} = {||w||}_{L^{P_{0}} (0, T; B_{0})} + {||w||}_{L^{P_{1}} (0, T; B_{1})}$ . Então:

(I) W é um espaço de Banach
(II) $W \overset{c}{↪} L^{P_{0}} (0, T; B)$

Dem.: Ver ⁷7 J.L. Lions. “Quelques méthodes de résolution des problemes aux limites non linéaires”. Dunod (1969).

Se fizermos $B_{0} = H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω), B = H_{0}^{1} (Ω), B_{1} = L^{2} (Ω)$ e $W (0, T) = {w; w \in L^{2} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω)) e w' \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))}$ com a norma

{||w||}_{W (0, T)} = {||w||}_{L^{2} (0, T; H_{0}^{2} \cap H^{3} (Ω))} + {||w'||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))}

concluimos que,

i) $W (0, T) \overset{c}{↪} L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
ii) (u _εδν ) é limitada em W(0, T)

pois

$u_{ε δ ν} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω)) ↪ L^{2} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω))$
$u_{ε δ ν}^{'} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}^{'}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω)) ↪ L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$

De i) e ii), concluimos que existe uma subsequência de (u _εδν ), que continuaremos denotando por (u _εδν ), tal que

iii) $u_{ε δ ν} ⟶ u_{ε δ}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$
iv) $u_{ε δ ν}^{'} ⟶ u_{ε δ}^{'}$ em $L^{\infty} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$

De (iii) e (iv) e da continuidade da função $M (‖ u_{ε δ ν} ‖^{2}) ⟶ M (‖ u_{ε δ} ‖^{2})$

De $Δ u_{ε δ ν} \overset{⋆}{⇀} Δ u_{ε δ}$ em $L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω)), Δ u_{ε δ ν} ⇀ Δ u_{ε δ}$ em $L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$

Portanto, podemos concluir também que

M (‖ u_{ε δ ν} ‖^{2}) Δ u_{ε δ ν} ⇀ M (‖ u_{ε δ} ‖^{2}) Δ u_{ε δ} e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.14)

Isto conclui a convergência da função M.

Multiplicando a equação aproximada em (3.1) por θ ∈ 𝒟(0, T), fixando m ₀ e integrando de 0 a T, obtemos, para $ν \geq m_{0} : \int_{0}^{T} ((k + ε) u_{ε δ ν}^{''} (t), w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{ε δ ν} (t), - Δ w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} M (‖ u_{ε δ ν} (t) ‖^{2}) (- Δ u_{ε δ ν} (t), w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} (u_{ε δ ν}^{'} (t), w) θ (t) d t + \frac{1}{δ} \int_{0}^{T} (β (u_{ε δ ν}^{'} (t)), w) θ (t) d t = \int_{0}^{T} (f (t), w) θ (t) d t \forall w \in V_{m} e \forall θ \in D (0, T)$

Tomando o limite com ν → ∞ e observando as convergências (L ₁) a (L ₇) e a convergência da função M, obtemos:

\int_{0}^{T} ((k + ε) u_{ε δ}^{''} (t), w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{ε δ} (t), - Δ w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} M ({||u_{ε δ} (t)||}^{2}) (- Δ u_{ε δ} (t), w) θ (t) d t + \int_{0}^{T} (u_{ε δ}^{'} (t), w) θ (t) d t + \frac{1}{δ} \int_{0}^{T} (β (u_{ε δ}^{'} (t)), w) θ (t) d t = \int_{0}^{T} (f (t), w) θ (t) d t, \forall w \in V_{m} e \forall θ \in D (0, T)

(3.15)

Lembrando que $z (x, t) = w (x) θ (t) \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$ , podemos reescrever (3.15):

\int_{0}^{T} ((k + ε) u_{ε δ}^{''} (t) + Δ^{2} u_{ε δ} (t) + M ({||u_{ε δ} (t)||}^{2}) (- Δ u_{ε δ} (t)) + u_{ε δ}^{'} (t) + \frac{1}{δ} β (u_{ε δ}^{'} (t)), z) d t = \int_{0}^{T} (f (t), z) d t, \forall z \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

Segue daí que:

(k + ε) u_{ε δ}^{''} + Δ^{2} u_{ε δ} + M ({||u_{ε δ}||}^{2}) (- Δ u_{ε δ}) + u_{ε δ}^{'} + \frac{1}{δ} β (u_{ε δ}^{'}) = f e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.16)

Concluimos de (3.16) que $Δ^{2} u_{ε δ} \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))$ , isto é , $Δ^{2} u_{ε δ} (t) \in L^{2} (Ω)$ , ou ainda, $u_{ε δ} (t) \in H^{4} (Ω)$ e desde que $u_{ε δ} \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{3} (Ω))$ , então

u_{ε δ} \in L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))

(3.17)

3.4 Condições Iniciais

Da convergência (L2), obtemos $u_{ε δ ν}^{'} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}^{'}$ em $L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))$ . Portanto, podemos afirmar que:

\int_{0}^{T} (u_{ε δ ν}^{'} (t), z) d t ⟶ \int_{0}^{T} (u_{ε δ}^{'} (t), z) d t, \forall z \in L^{1} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.18)

Fazendo $z (x, t) = w (x) θ (t)$ , com $w \in L^{2} (Ω)$ e $θ \in C^{1} ([0, T])$ , tal que θ(0) = 1 e θ(T) = 0, em (3.17), obtemos: $\int_{0}^{T} (u_{ε δ ν}^{'} (t), w) θ (t) d t ⟶ \int_{0}^{T} (u_{ε δ}^{'} (t), w) θ (t) d t$ . Integrando por partes:

- (u_{0 ν}, w) - \int_{0}^{T} (u_{ε δ ν} (t), w) θ' (t) d t ⟶ - (u_{ε δ} (0), w) - \int_{0}^{T} (u_{ε δ} (t), w) θ' (t) d t

(3.19)

Da convergência (L1), obtemos $u_{ε δ ν} \overset{⋆}{⇀} u_{ε δ}$ em L ^∞(0, T; L ²(Ω)). Portanto, podemos afirmar que

\int_{0}^{T} (u_{ε δ ν} (t), z) d t ⟶ \int_{0}^{T} (u_{ε δ} (t), z) d t, \forall z \in L^{1} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.20)

Assim, observando que $z (x, t) = w (x) θ' (t) \in L^{1} (0, T; L^{2} (Ω))$ , podemos reescrever (3.20):

\int_{0}^{T} (u_{ε δ ν} (t), w) θ' (t) d t ⟶ \int_{0}^{T} (u_{ε δ} (t), w) θ' (t) d t, \forall w \in L^{2} (Ω)

(3.21)

Sabemos também que,

$u_{ε δ ν} (0) = u_{0 ν} ⟶ u_{0}$ em $H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω) ⟹ u_{0 ν} ⟶ u_{0}$ em $L^{2} (Ω) ⟹ u_{0 ν} ⇀ u_{0}$ em L ²(Ω), isto é,

(u_{0 ν}, w) ⟶ (u_{0}, w) \forall w \in L^{2} (Ω)

(3.22)

Portanto, de (3.21) e de (3.22), podemos escrever:

- (u_{0 m}, w) - \int_{0}^{T} (u_{ε δ m} (t), w) θ' (t) d t ⟶ - (u_{0}, w) - \int_{0}^{T} (u_{ε δ} (t), w) θ' (t) d t

(3.23)

Além disso, da unicidade dos limites, de (3.19) e (3.23), concluimos que:

$(u_{ε δ} (0), w) = (u_{0}, w)$ , e portanto, $u_{ε δ} (0) = u_{0}$ . Da mesma forma podemos concluir que $u_{ε δ}^{'} (0) = u_{1}$

Isto conclui a demonstração do Lema (3.1).

3.5 Demonstração do Teorema 3.1

3.5.1 Existência de Soluções

Com base nas proposições (2.3) e (2.4), nas convergências de (L1) a (L7) e em (3.17), obtemos

{||u_{ε δ}||}_{L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))} \leq \lim \inf {||u_{ε δ ν}||}_{L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))} \leq C_{9}

(3.24)

{||u'_{ε δ}||}_{L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||u_{ε δ ν}^{'}||}_{L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω)} \leq C_{10}

(3.25)

{||u_{ε δ}^{''}||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||u_{ε δ ν}^{''}||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{11}

(3.26)

{||Δ u_{ε δ}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||Δ u_{ε δ ν}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{12}

(3.27)

{||Δ^{2} u_{ε δ}||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||Δ^{2} u_{ε δ ν}||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{13}

(3.28)

{||\sqrt{ε} u_{ε δ}^{''}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||\sqrt{ε} u_{ε δ ν}^{''}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{14}

(3.29)

{||K u_{ε δ}^{''}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||k u_{ε δ ν}^{''}||}_{L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{15}

(3.30)

{||β (u_{ε δ}^{'})||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq \lim \inf {||β (u_{ε δ ν}^{'})||}_{L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))} \leq C_{16}

(3.31)

Em que C _i são constantes positivas independentes de ε, δ, ν e t para i ∈ {9,..., 16}

De (3.24) a (3.31), podemos afirmar que existe uma subsequência de (u _εδ ) que continuaremos denotando por (u _εδ ), tal que

u_{ε δ} \overset{⋆}{⇀} u_{δ} e m L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))

(3.32)

u'_{ε δ} \overset{⋆}{⇀} u_{δ}^{'} e m L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))

(3.33)

u_{ε δ}^{''} ⇀ u_{δ}^{''} e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.34)

Δ u_{ε δ} \overset{⋆}{⇀} Δ u_{δ} e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.35)

Δ^{2} u_{ε δ} ⇀ Δ^{2} u_{δ} e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.36)

\sqrt{ε} u_{ε δ}^{''} \overset{⋆}{⇀} \sqrt{ε} u_{δ}^{''} e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.37)

K u_{ε δ}^{''} \overset{⋆}{⇀} k u_{δ}^{''} e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.38)

β (u_{ε δ}^{'}) ⇀ β (u_{δ}^{'}) e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.39)

Novamente, usando o Lema da Compacidade de Aubin-Lions, encontramos uma convergência forte para (u _εδ ), isto é,

u_{ε δ} ⟶ u_{δ} e m L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))

(3.40)

Decorre de (3.32) a (3.39) e de (3.40) que tomando o limite ε → 0 na equação (A4L1) do Lema (3.1), obtemos

(k u_{δ}^{''}, z) + (- Δ u_{δ}, - Δ z) + M ({||u_{δ}||}^{2}) (- Δ u_{δ}, z) + (u_{δ}^{'}, z) + \frac{1}{δ} β (u_{δ}^{'}, z) = (f, z), \forall z \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.41)

Repetindo o processo usado de (3.24) a (3.40), podemos afirmar que existe uma subsequência de (u _δ ), que continuaremos denotando por (u _δ ), tal que

u_{δ} \overset{⋆}{⇀} u e m L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω) \cap H^{4} (Ω))

(3.42)

u'_{δ} \overset{⋆}{⇀} u' e m L^{\infty} (0, T; H_{0}^{2} (Ω))

(3.43)

u_{δ}^{''} ⇀ u'' e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.44)

Δ u_{δ} \overset{⋆}{⇀} Δ u e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.45)

Δ^{2} u_{δ} ⇀ Δ^{2} u e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.46)

\sqrt{ε} u_{δ}^{''} \overset{⋆}{⇀} \sqrt{ε} u'' e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.47)

k u_{δ}^{''} \overset{⋆}{⇀} k u'' e m L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.48)

β (u_{δ}^{'}) ⇀ β (u') e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.49)

Portanto, concluimos de (3.42), (3.43) e (3.44) que (A1T), (A2T) e (A3T) do Teorema (3.1) são satisfeitos. Resta-nos mostrar que u é solução da desigualdade (A4T) e que $u' (t) \in N q . t . p t \in (0, T)$ .

1º) u é solução da desigualdade (A4T) do Teorema (3.1). De fato,

Na equação (3.41), fazendo $z = v - u'_{δ}, v \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω))$ , com $v (t) \in N q . t . p t \in [0, T]$ e integrando de 0 a T, obtemos:

\int_{0}^{T} (k u_{δ}^{''}, v - u_{δ}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{δ}, - Δ (v - u_{δ}^{'})) d t + \int_{0}^{T} M ({||u_{δ}||}^{2}) (- Δ u_{δ}, v - u_{δ}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (u_{δ}^{'}, v - u_{δ}^{'}) d t + \int_{0}^{T} \frac{1}{δ} (β (u_{δ}^{'}), v - u_{δ}^{'}) d t = \int_{0}^{T} (f, v - u_{δ}^{'}) d t \forall z \in L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.50)

Note que $(β (u_{δ}^{'}), v - u_{δ}^{'}) = (β (u_{δ}^{'}) - β (v), v - u_{δ}^{'}) \leq 0$ , pois v(t) ∈ N e β é monótono. Logo, podemos reescrever a equação (3.50) acima:

\int_{0}^{T} (k u_{δ}^{''}, v - u_{δ}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{δ}, - Δ (v - u_{δ}^{'})) d t + \int_{0}^{T} M ({||u_{δ}||}^{2}) (- Δ u_{δ}, v - u_{δ}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (u_{δ}^{'}, v - u_{δ}^{'}) d t \geq \int_{0}^{T} (f, v - u_{_{δ}}^{'}) d t .

(3.51)

Agora, fazendo a passagem do limite quando δ → 0 em (3.51) e considerando a estimativa I, a continuidade de M e o Lema da compacidade de Aubin-Lions, concluimos que (3.51) converge para (A4T):

\int_{0}^{T} (k (x, t) u'', v - u') d t + \int_{0}^{T} (- Δ u, - Δ (v - u')) d t + \int_{0}^{T} M ({||u||}^{2}) (- Δ u, v - u') d t + \int_{0}^{T} (u', v - u') d t \geq \int_{0}^{T} (f, v - u') d t \forall v \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)), v (t) \in N q . t . p t \in (0, T)

Isto mostra que u é solução da desigualdade (A4T) do Teorema (3.1).

2º) $u' (t) \in N q . t . p t \in (0, T)$ . De fato, da estimativa I, sabemos que:

0 \leq \frac{1}{δ} \int_{0}^{T} (β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t)) d t \leq C

(3.52)

Da proposição (2.5) e da definição (2.1), $| β (w) |^{2} \leq (β (w), w)$ .

Portanto, fazendo $w = u_{ε δ m}^{'} (t)$ e integrando de 0 a T, obtemos por (3.52): $\int_{0}^{T} | β (u_{ε δ m}^{'} (t)) |^{2} d t \leq \int_{0}^{T} (β (u_{ε δ m}^{'} (t)), u_{ε δ m}^{'} (t)) d t \leq δ C$

Tomando o limite quando $m ⟶ \infty, \lim_{m ⟶ \infty} \int_{0}^{T} | β (u_{ε δ m}^{'} (t)) |^{2} d t \leq δ C$

Pelo Lema da compacidade de Aubin-Lions,

u_{ε δ m}^{'} ⟶ u_{ε δ}^{'} e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω)

(3.53)

Pela continuidade do $\int_{0}^{t} | β (u_{ε δ m}^{'} (t)) |^{2} d t ⟶ \int_{0}^{t} | β (u_{ε δ}^{'} (t)) |^{2} d t$ para m → ∞

Portanto,

\int_{0}^{t} | β (u_{ε δ}^{'} (t)) |^{2} d t \leq δ C

(3.54)

Tomando o limite quando ε → 0 em (3.54) e seguindo o mesmo raciocínio para a sequência (u _εδ ) obtemos

0 \leq \int_{0}^{t} | β (u_{δ}^{'} (t)) |^{2} d t \leq δ C

(3.55)

Agora, tomando o limite quando δ → 0 em (3.55), obtemos

\int_{0}^{T} | β (u_{δ}^{'} (t)) |^{2} d t ⟶ 0, quando δ ⟶ 0

(3.56)

Segue que

β (u_{δ}^{'} (t)) ⟶ 0 e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.57)

Pela continuidade da β, temos

β (u_{δ}^{'} (t)) ⟶ β (u' (t)) e m L^{2} (0, T; L^{2} (Ω))

(3.58)

Por (3.57) e (3.58) e pela unicidade dos limites, $β (u' (t)) = 0$ . O que implica dizer que $u' (t) \in N q.t.p t \in (0, T)$

3.5.2 Unicidade da solução

Sejam u ₁ e u ₂ soluções de (A4T) no teorema (3.1). Logo podemos escrever

\int_{0}^{T} (k (x, t) u_{1}^{''}, v - u_{1}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{1}, - Δ (v - u_{1}^{'})) d t + \int_{0}^{T} M ({||u_{1}||}^{2}) (- Δ u_{1}, v - u_{1}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (u_{1}^{'}, v - u_{1}^{'}) d t \geq \int_{0}^{T} (f, v - u_{1}^{'}) d t

(3.59)

\int_{0}^{T} (k (x, t) u_{2}^{''}, v - u_{2}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (- Δ u_{2}, - Δ (v - u_{2}^{'})) d t + \int_{0}^{T} M ({||u_{2}||}^{2}) (- Δ u_{2}, v - u_{2}^{'}) d t + \int_{0}^{T} (u_{2}^{'}, v - u_{2}^{'}) d t \geq \int_{0}^{T} (f, v - u_{2}^{'}) d t

(3.60)

\forall v \in L^{2} (0, T; H_{0}^{1} (Ω)), v (t) \in N q.t.p t \in (0, T)

Fazendo $v = u_{2}^{'}$ na desigualdade (3.59), e $v = u_{1}^{'}$ na desigualdade (3.60) e somando os resultados, sendo t um ponto arbitrário de (0, T) ,teremos:

\int_{0}^{t} (k (x, t) (u_{1}^{''} - u_{2}^{''}), u_{2}^{'} - u_{1}^{'}) d s + \int_{0}^{t} (- Δ (u_{1} - u_{2}), - Δ (u_{2}^{'} - u_{1}^{'})) d t + \int_{0}^{t} M ({||u_{1}||}^{2}) (- Δ u_{1}, u_{2}^{'} - u_{1}^{'}) d s - \int_{0}^{t} M ({||u_{2}||}^{2}) (- Δ u_{2}, u_{_{2}}^{'} u_{1}^{'}) d s + \int_{0}^{t} (u_{1}^{'} - u_{2}^{'}, u_{2}^{'} - u_{1}^{'}) d t \geq 0

(3.61)

Fazendo u ₂ − u ₁ = w, somando e subtraindo $\int_{0}^{t} M ({||u_{1}||}^{2}) (- Δ u_{2}, w') d s$ em (3.61), obtemos:

\int_{0}^{t} (K (x, t) w'', w') d s + \int_{0}^{t} (Δ w, Δ w') d s + \int_{0}^{t} M ({||u_{1}||}^{2}) (- Δ w, w') d s + + \int_{0}^{t} (w', w') d s \leq \int_{0}^{t} [M ({||u_{1}||}^{2}) - M ({||u_{2}||}^{2})] (- Δ u_{2}, w') d s

(3.62)

Segue de (3.62) que:

\int_{0}^{t} \frac{d}{d s} [(K, w'^{2}) + | Δ w |^{2} + M (| u_{1} |^{2}) | w |^{2}] d s + 2 \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s \leq 2 \int_{0}^{t} {|M (| u_{1} |^{2}) - M (| u_{2} |^{2})|}_{ℝ} | Δ u_{2} | | w' | d s + 2 \int_{0}^{t} | u_{1} | | u'_{1} | | M (| u_{1} |^{2}) |_{ℝ} | w |^{2} d s + \int_{0}^{t} α | w' |^{2} d s + C (α) \int_{0}^{t} (K, w'^{2}) d s

(3.63)

Sabemos que |u(t)|, |u ^′(t)| e |∆u(t)| são limitadas. Sabemos também pela hipótese (ℋ₃) que a função M é continuamente diferenciável em [0, ∞). Isto nos permite aplicar o Teorema do Valor Médio:

{|M (| u_{1} |^{2}) - M (| u_{2} |^{2})|}_{ℝ} | Δ u_{2} | | w' | \leq \frac{1}{2} | w' |^{2} + \frac{C_{9}}{2} | Δ w |^{2}

(3.64)

Além disso,

| u_{1} | | u'_{1} | {|M (| u_{1} |^{2})|}_{ℝ} | w |^{2} \leq C_{10} | w |^{2} \leq \frac{C_{11}}{2} | Δ w |^{2}

(3.65)

Agora, aplicando (3.64) e (3.65) em (3.63), obtemos:

\int_{0}^{t} \frac{d}{d s} [(K, w'^{2}) + | Δ w |^{2} + M (‖ u_{1} ‖^{2}) ‖ w ‖^{2}] d s + 2 \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s \leq \int_{0}^{t} (α | w' |^{2} + C_{12} | Δ w |^{2}) d s + \int_{0}^{t} C_{13} | Δ w |^{2} d s + \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s + C (α) \int_{0}^{t} (K, w'^{2}) d s

(3.66)

Note que w(0) = w ^′(0) = 0. Logo, aplicando em (3.66), obtemos:

(k, w'^{2}) + | Δ w |^{2} + M ({||u_{1}||}^{2}) ||w|| + (1 - α) \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s \leq \int_{0}^{t} [C (α) (k, w'^{2}) + C_{14} | Δ w |^{2}] d s

(3.67)

com 0 < α < 1 e C _i constantes positivas.

Pela hipótese (H ₃) e observação (2.1), $M ({||u_{1}||}^{2}) {||w||}^{2} \geq - σ | \nabla w |^{2} \geq - \frac{σ}{λ_{1}} | Δ w |^{2}$ .

Aplicando este resultado em (3.67), obtemos:

(K, w'^{2}) + (1 - \frac{σ}{λ_{1}}) | Δ w |^{2} + (1 - α) \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s \leq \int_{0}^{t} [C (α) (K, w'^{2}) + C_{15} | Δ w |^{2}] d s,

com $0 < 1 - \frac{σ}{λ_{1}} < 1$ e 0 < 1 - α < 1

Podemos, então, reescrever essa última desigualdade:

(K, w'^{2}) + | Δ w |^{2} < C_{16} (K, w'^{2}) + | Δ w |^{2} + C_{17} \int_{0}^{t} | w' |^{2} d s \leq \int_{0}^{t} C_{18} [(K, w'^{2}) + | Δ w |^{2}] d s

(3.68)

Aplicando a desigualdade de Gronwall em (3.68), obtemos $(K, w'^{2}) + | Δ w |^{2} \leq 0$

Isto implica dizer que $| Δ w (t) |^{2} = {||w (t)||}_{H_{0}^{2} (Ω)}^{2} = 0$ , e portanto, w(t) = 0 q.s. em [0, T].

Desde que w é contínua em [0, T], $w (t) = 0, \forall t \in [0, T]$ , isto é, u ₁ = u ₂.

Isto demonstra a unicidade de solução.

REFERÊNCIAS

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G. Stampacchia. Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes. Comptes Rendus Hebdomadaires Des Seances De L Academie Des Sciences, 258(18) (1964), 4413.
¹³
S. Woinowsky-Krieger. The effect of an axial force on the vibration of hinged bars. Journal of Applied Mechanics, (1950).

1
De acordo com Mikhlin (10) temos satisfeito que: $λ_{1} = \inf_{u \in H_{0}^{2} (Ω)} \frac{| - Δ u |^{2}}{| - Δ^{1 / 2} u |^{2}} > 0$ (2.1)

Datas de Publicação

Publicação nesta coleção
13 Maio 2024
Data do Fascículo
2024

Histórico

Recebido
30 Maio 2021
Aceito
22 Out 2023

Este é um artigo publicado em acesso aberto sob uma licença Creative Commons

[1] ¹
V.J.V. Becerra. “Solução Local Para um Problema não Linear Unilateral”. Ph.D. thesis, Dissertaçao de Mestrado. UFRJ (1987).

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